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Posted by つくばちゃんねるブログ at

2011年01月29日

「算額を作ろう」コンクール

コマネチ大学 #53
たけしのコマネチ大学数学科#53  2007/07/19 深夜OA

今回のテーマは、
「和算 Part3」

◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇

江戸時代に独自に発達した日本の数学”和算”。
今回で、第3弾!と、言うことで、私も”和”のテイストを取り入れてみました。
(戸部アナはお土産用の和傘(+糸が付いた枡)を回して・・・)
ジャジャ~ン。こちら、枡を回しておりま~す。おめでとう~  (戸部アナ)

今のブログの順位は・・・こんな感じ
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇

タカさんから・・先生いじり
今回の竹内先生は、和服で登場。どうやら仕立ててもらったものらしい。

コマ大:今回のテーマは「私の夏休み」
〆さばアタルは「海でキャンプ」、アル北郷は「山でキャンプ」
お宮の松は、ビリーブートキャンプのように踊りだし、オチなし・・

算額の解説:<テロップ>
数学の良問が出来たり、難問が解けたことを神仏に感謝し、
ますます勉学に励むことを祈願して神社やお寺に奉納した「絵馬」のようなもの。
主に江戸時代に盛んに行われた風習。
(補足:現在,日本全国に約1000面の算額があります)

「算額を作ろう」コンクール紹介。
毎年行われているイベント。
参加資格は、算数・数学の好きな小学生・中学生・高校生・その他のみなさん
らしいのだが、コンクールで賞を取っているのは中学生しかいない。
(関係団体リンクを記事最後に置いたので参照されたし)

今回の問題は、2007年2月 第9回 算額をつくろうコンクール
で賞を取った、水野文裕くん(当時 筑波大学附属駒場中学校3年)の作品。
(2006年2月 第8回算額をつくろうコンクールでの彼の作品も・・ こちらをクリック )
彼から「マス北野!東大生!この問題、解けるかな?」と挑発的メッセージも・・


◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇

Q:
一辺が1cmの正方形の各辺に1個、正三角形が外接している。
この正三角形の頂点を中心とした直系2cmの円をそれぞれ描く。
この時、新たに生まれた4つの交点を、結んで出来る正方形の面積を求めなさい。




コマ大の検証:

床に描いた正方形+1mの紐+大量のドミノを使って図形を描いて検証。
1mの紐で正三角形をドミノで描き、その頂点を中心とした円を
紐で測りながらドミノで作ってゆく。人海戦術で助っ人に、ダンカン部長の
知り合いの歯科医・木庭さんや、劇団「東京サギまがい」のメンバーも加わる。
何度もドミノを倒しながら、円まで並べたところでコマ大生がドミノを倒す。
円の交点に用意された旗が上がる。この距離を実測し、面積を求めた。
検証時間5時間58分。


タカさんの決め文句は、
ジャーン、ハミリジャ、ジンラ、ラッピン~

(あっているのか・・本当はHindi語)
Live as if you were to die tomorrow. Learn as if you were to live forever.
by.Gandhi, Mahatma ( मोहनदास करमचन्द गांधी)

竹内先生のポイント:
補助線を入れて、角度を求める・・


東大生は、どんどん補助線を引きまくって・・なにかわかったようだ。

マス北野は、補助線を引くと、計算に入った!?・・

<東大生プチ情報>
木村さんが高校教師向けに「数学の魅力」について2時間ほど講演してきたと・・。
金の匂いのするところにはどんどんいきますね、とタカさんからツッコミ。
(長野県・全県数学研究会  木村さんブロブ関連記事リンク )

A:

*マネチ大学生の解答
2.7225c㎡ (測定した一辺が1.65cmだったので)

*マス北野の解答




求める正方形の対角線の半分の長さを求め、
その長さを2乗したものを2倍した。
図のように対角線の長さを分けて算出した。
答え。 ( √2 + 2 - √3 )^2 x 2 //

*東大生の解答
とにかく補助線をたくさん引いて考えた。



円周角の定理を使うと、∠AOC = 2 x ∠ABCなので、
∠ABC =45°から、∠AOC =90°
図のように、上の三角だけ取り出してみると、
30°の角度を持つ直角三角形なので、辺の比は2:1:√3。
そこから、正方形の辺の半分は、√3/2と分る。
よって、一辺の長さは√3。面積は2乗して3c㎡。
答え。3c㎡ //


正解は、東大生!!!


◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇


美しい数学の世界 (先生の解説)



補助線AB、ACを引いて、△ABCのBCの長さを求めたい。
ここで、AB=AC=1cmである。



補助線BD,ECを引く。
すると、∠ECB=45°(○印)なので、
台形BCEDを考えると、四角形の内角の和が360°で∠BCEが45°だから、
∠CED=135°(×印)
∠AED=60°なので、∠AEC=75°(△印)
すると、△ACEは2等辺三角形なので、∠ACE=75°
つまり、∠ACB=∠ACE - ∠ECB = 75 - 45 = 30°



AからBCに対し、垂線を下ろすと、
△ACMは一つの角が30°の直角三角形なので、
AC : AM : MC = 2 : 1 : √3
AC=1cmなので、MC = √3 /2
正方形の一辺BC = 2 x MC = √3
よって、正方形の面積は 3c㎡ //

<水野君の解法>



四角形ABCDはひし形。
∠BAC = 150° (360-60x2)
∠ACD = 30°(180 - 150)
∠GDC = ∠FGC - ∠GCD = 30°( 60 - 30)
△DCFは、30°、60°90°の直角三角形。
また、DC = 1cmより、
DF = √3 /2 となる。
つまり、求める正方形の一辺は√3cm。
面積は 3c㎡ //

http://ameblo.jp/chablis/day-20070720.html  


Posted by オボノボノ at 23:27Comments(0)

2011年01月29日

菅原神社に奉納された算額

嘉永3年(1850)に菅原神社(一関市舞川)に奉納された算額の問題です。

正方形の中に図のように四分円が3個と、等円が2個あります。
等円は正方形と四分円に接しています。
z 等円の直径が1cmのとき、
正方形1辺の長さを求めてください。
z 斜線部分の面積を求めてください。
ただし、円周率はπとします。

http://www.museum.city.ichinoseki.iwate.jp/icm/06events/pdf/h19_02.pdf

今回も中級問題には、小学4年生から85歳という高齢の方まで、幅広い年齢層から680件の
解答が寄せられました。
採点には長時間を労しましたが、投稿者の解答作成にあたっての工夫や熱意そして数学的実力
が頼もしく感じられる楽しい時間でした。
投稿者の感想は、「前回より難しい。」「和算の世界に感激した。」「考えることが楽しい問
題であった。」「このような難しい問題を解いた昔の人は偉い。」など様々寄せられました。  


Posted by オボノボノ at 14:11Comments(0)

2011年01月26日

カンタベリー・パズル

61. 銀の立方体[キューブ]

これまで紹介したパズルをやさしすぎると感じた方もいることだろう。最後にこれから抜粋し紹介するパズルは、そんな読者のためのパズルだ。これは正真正銘の難問であり、我こそはと、自分の知力によほど自信のある方にのみ挑戦していただきたいと思う。

「私どもの教区に住む未亡人の息子さん、ハーバート・スピアリング坊ちゃまが、一見やさしそうな算術のパズルを出題されました。ところが、その場にいた人は誰も解くことができなかったのです。

実を申しますと、私なんぞは自分で解いてみようという気さえおこりませんでした。と申しますのも、オックスフォードからいらした若い法律家の方が、なんでもたいへん数学に精通した立派な学者さんなのだそうですが、その方がみんなの前で答えられなかったのですから。そして、きっぱりと、このパズルには解がないと思うとおっしゃたのです。ところが、あとになって聞いたのですが、実はちゃんと解けるのだとか。もっとも、私の口からその保証はいたしかねますけれど。



ハーバートさまは、純銀製の立方体[キューブ]を二つお持ちになっておりました。お母様から借りてきたのだそうです。そしてこのキューブについて、どの一辺も2インチなので、ひとつだと8立方インチ、合わせると16立方インチになると説明なさいました。そこで自分の知りたいのはと、坊ちゃまは次のようにおっしゃったのでした。

『二つの銀のキューブの合計がちょうど17立方インチだったとします。そのときの二つのキューブの正確な大きさはいったいいくつになるのでしょう。わかる方はいますか?』」

言うまでもないが、解となる二つの立方体の大きさは相異なっていてもよい。

さて、大地主ダヴィッジ翁の生み出した「クリスマス・パズル・パーティー」は素晴らしいアイデアだったようだ。近頃のイブニング・パーティーにはブック・ティーズ(Book Teas)など、いろいろな余興が導入されているようだが、そうしたものにうんざりしている人たちや、パズルが大好きだという人たちの手で、この企画を復活させて欲しいものである。パーティーに参加した人たちの出題するパズルに解答し、その最優秀の解き手[ソルバー]に賞品を出すなんて、素敵ではないか。


合計するとちょうど17立方インチになる二つの立方体で、たがいに大きさの異なるものは無限に存在する。ここではその最小値となる解を紹介する。

ひとつは一辺が2インチ23278/40831で、もう一方は11663/40831インチである。検証したければ、それぞれの数を三乗[キューブ]して(すなわち、各数をそれ自身の数で2回掛け合わせて)足し合わせればよい。容積の合計が17立方インチになることがわかるはずだ。

「20. 医者のパズル」も参照のこと。

訳注:「2インチ23278/40831」の箇所は帯分数。

http://cbps.blog36.fc2.com/blog-entry-154.html  


Posted by オボノボノ at 11:58Comments(0)

2011年01月23日

ペンローズ・タイル

ペンローズ・タイルの角度x、yを求めてみましょう。

ptile-241.jpg

x=360÷10=36°

y=360÷5=72°  


Posted by オボノボノ at 12:42Comments(0)

2011年01月22日

切断面が正方形?

「本当に切断面が正方形になるのだろうか?」という疑問から、この立体図形を作ろうと思った。
ここまできて、やっとその意味が実感できるようになった。
0<x<1/√2では4隅が円弧になるんだ!!

D1000011.JPG
D1000010.JPG
D1000012.JPG
  


Posted by オボノボノ at 13:05Comments(0)

2011年01月21日

ひし形12枚

対角線(長い)36÷4=9cm(4枚で円周を一周する)
対角線(短い)5.73×√2=8.08cm

折り紙の色を3色用意してください。
1色につき、4枚のひし形を作ります。


D1000008.JPG  


Posted by オボノボノ at 09:53Comments(0)

2011年01月19日

直交する3円柱の共通部分の形を作る

直交する3円柱の共通部分の形を作ってみましょう。

半径5.73cmの円柱とすると、円周は
5.73×2×3.14=約36cm

幅2cm、長さ36cmの細長い紙を3枚用意してください。

セロテープで輪にして、3つの輪を90°、90°、90°の3直交にセロテープでとめてください。


  


Posted by オボノボノ at 10:42Comments(0)

2011年01月16日

対数螺旋

あなたは、対数螺旋状に配置された点のパターンで起動する場合、それらは、多角形を形成するために接続すると、それは非常に慎重にポイントの間隔とポリゴンの形状を計算する場合を除きタイルが正常に終了しないことが仮想確実になります。

logsptri.jpg

http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/log-spir.htm  


Posted by オボノボノ at 19:27Comments(0)

2011年01月15日

直交する3円柱を作ってみましょう。

直交する3円柱を作ってみましょう。

3enchu1.jpg

x.jpg

図のxの長さを求めてみましょう。

円柱の半径を10cmとすると、

x=10(√2-1)/√2=5(2-√2)=2.93

半径10cmの円の円周の1/4は

2×10×3.14÷4=15.7

底辺15.7cm、高さ2.9cmの二等辺三角形を3個作り、3個の1/4円につけて
直交するようにする。

3enchu2.jpg  


Posted by オボノボノ at 04:18Comments(0)

2011年01月11日

エッシャーの敷き詰め

エッシャーの敷き詰め

catm7m.jpg

エッシャーによる図形の敷き詰めでは、図形に応じた敷き詰めパターンを利用して固有の芸術的表現が生み出されています。この、敷き詰めパターンを図形に応じて作り出せるソフトウェアを利用して、敷き詰めの中に合同変換(対称移動・回転移動・平行移動)が潜んでいることについて学ぶことができます。

http://math-info.criced.tsukuba.ac.jp/museum/tessellation/  


Posted by オボノボノ at 13:10Comments(0)

2011年01月10日

3個の大円(半径1)に囲まれた6個の円(4種)の円の半径

3個の大円(半径1)に囲まれた6個の円(4種)の円の半径を求めよ。

R4を微調整して描いてみた。

円R4の中心(0.1092,0.557)
r4=0.05011

0.085.jpg

まあ、ここまでできれば、この問題の難しさと楽しさは堪能できたかな?

http://araischool.seesaa.net/index-3.html  


Posted by オボノボノ at 09:58Comments(0)

2011年01月08日

フシギな図形

The F Puzzle (Fパズル)3種類6ピース

もともと広島のディー・ワン・プロダクツ株式会社という会社が販売しているパズルで、『銘木ノブパズル』というものである。他に『ザ ティー The T』,『Gem』,『Sphinx』,『Cross』,『ロングラム』,『ユークリッドパズル』,『デビルパズル』,『あいたい輪』(ご縁があったら),『十字架パズル II』等がある。ディー・ワン・プロダクツが販売しているものは木の素材がよく、値段も少々高いが頭を使う点では木だろうとプラスチックだろうと同じであろう。この『The-F』は中でも難しいほうで、34種類のシルエットが問題として出されている。回答はディー・ワン・プロダクツのものは付いていないが、郵送で送ってくれるらしい。一通り解けるとしても、もう一度解こうとすると忘れてしまってまた悩んでしまう。指先を使って、頭を使って、皆さんも一緒に悩みましょう!

app1.jpg


このフシギな図形の長さの不思議を探検してみよう。

AB=CE=CK=DH=√2とすると、
JE=xとおくと、
DE=x√2
CD=BIから
JF=JE+EK+KF=x+2+√2
JF=BI+1=CD+1=x√2+√2+1
x+2+√2=x√2+√2+1
x(√2-1)=1
x=√2+1



  


Posted by オボノボノ at 15:07Comments(0)

2011年01月07日

直交する3円柱の共通部分の形

質問

「3本の円柱を十字に直交させたときの、3本の円柱の共通部分の体積を求めよ」という問題は積分で答えが出るわけですが、
3円柱が直交している様子は、3Dのグラフでパソコンで描くことはできるのですが、その共通部分だけの姿を描くことが、パソコンでも、頭の中でもできません。何か、紙か木で作りたいと思っても、どうしたらいいか、思案に暮れております。何か参考になることがありましたら、教えてください。
特に分からないのは、x軸に平行な平面で切ったときの、切断面が正方形になる、というところを、ぜひ実感してみたいんですが、・・・


右下図のひし形のような図形を12枚作って張り合わせればできます。
ひし形のような形の左上の辺の式は、Y=√2 asin (X/√2) です。
X=0.0 → Y=0
X=0.5 → Y=0.511
X=1.0 → Y=1.111

実感することがお望みなら、大根か何かを実際に切ってみるのが良いでしょう。
(私は高校生だったとき、授業中に消しゴムを切りました。)

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1053114765?fr=chie_my_notice_newans
  


Posted by オボノボノ at 09:33Comments(0)

2011年01月06日

ギリシアの十字架



  


Posted by オボノボノ at 09:27Comments(0)

2011年01月05日

ギリシアの十字架

「ギリシアの十字架」と呼ばれる次の図形を、交わる2本の直線で切り分けて4つのパーツにします。それらを組み合わせて正方形にしてみてください。

  


Posted by オボノボノ at 10:09Comments(0)

2011年01月04日

カンタベリー・パズル

正三角形が4つの断片に切り分けられていて,ハトメを中心として回転させると正三角形が正方形に変身するというパズルをご存知でしょうか?

 正三角形を6ピースに切って並び替えると正方形に作り替えることができるパズルもあるのですが,その切断はあまりエレガントではありません.切り方を工夫してピースの個数を減らしたい・・・これは大変な難問ですが,デュドニーはわずか4ピースにして1回のハトメ返しで正三角形から正方形に移すことに成功しました.

 ハトメのうち2つは正三角形の2辺の中点にあり,もう一つの辺は0.982:2:1.018に内分され,その一方にハトメがついています.このパズルには平面充填形(タイル張り)の理論が潜んでいることに気づけばその切り分け方を見いだすことができます.以下,中川宏さんに製作してもらったカンタベリー・パズルの動作を示します.






【1】カンタベリー・パズルの切り方

 私はこのパズルをスタインハウス「数学スナップショット」紀伊国屋書店の冒頭の記事で知ったのだが,デュドニーのカンタベリー・パズルと呼ばれているそうである.

 デュドニーのカンタベリー・パズルでは,正三角形と正方形の面積は等しいことはもちろんであるが,正三角形の周は正方形の内部に移り,正方形の周は正三角形の内部の点だけから構成されているリバーシブルな性質をもっている.

 また,正三角形も正方形も単独で平面を充填できる図形であることが重要な要素になる.正三角形・正方形に限らず,任意の三角形・四角形の同じ辺を順次背中合わせにつないでいくと,平面を重なりも隙間もなしに敷き詰めることができる.

 たとえば,四角形のタイル貼りにおいて四角形の内部に任意の点をとり,隣り合う四角形の対応する点を結ぶと,別の形の四角形による平面充填に変身する.このとき互いに四角形の各辺を2等分することもわかる.四角形の内部に任意の点を選び,この点と各辺の中点を結んだ4本の線で四角形を4分割してもよい.

 四角形の向かい合った辺の中点同士を結んでハトメ返しを行うと,元の四角形によってただ一通りに定まる平行四辺形が得られる.向かい合った辺のうち1組の中点だけを結んで,残りの1組の中点からいま結んだ線に対して任意の角度で平行線を引いてからハトメ返しを行うといろいろな角度の平行四辺形が作られる.

 三角形の場合は3個の辺の中点のうち2個の中点を結び,残りの中点と向かい合った頂点を結んでハトメ返しを行うと平行四辺形が得られる.また,1本の中線に対して残りの2個の中点からそれぞれ垂線を下ろしてハトメ返しを行えば長方形が得られる.

 このように面積が等しい四角形や三角形から平行四辺形へのデュドニー分割は可能であるが,面積が等しい2つの平行四辺形同士でもデュドニー分割は可能である.平行四辺形の対角線の交点を通る任意の直線を引き,直線が交わらない辺の中点から任意の角度の平行線を引けばよい.極端に形が異なっていなければ,この方法で任意の平行四辺形同士のハトメ返しを行うことができる.

 面積の等しい三角形と平行四辺形ではそれぞれ2個ずつ使ってどちらも平行四辺形にすれば,面積が等しい2つの平行四辺形同士のデュドニー分割に帰着できることになる.

 結局,形の異なる三角形や四角形のあいだであっても,それらの面積が同じならば何回かのハトメ返しで一方から他方へ移すことができるのである(ボヤイ・ゲルヴィンの定理→ハドヴィゲール・グリュールの定理).

 正三角形を6ピースに切って並び替えると正方形に作り替えることができるパズルもあるのだが,その切断はあまりエレガントではない.切り方を工夫してピースの個数を減らしたい.これは大変な難問であるが,デュドニーはわずか4ピースにして1回のハトメ返しで正三角形から正方形に移すのに成功したのである.その切断法については次回にまわすことにしたい.

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【2】カンタベリー・パズルの応用
 デュドニーのカンタベリー・パズルは正三角形をそれと等積の正方形に直す問題ですが,正五角形や正六角形を切り刻んで正方形に再構成する仕方も知られています.また,正六角形をいくつかの小片に切り離して並び替え正八角形をつくることや星形を正方形にかえることも可能です.

 カンタベリー・パズルは「平面ハトメ返し」による分割合同なのですが,立体の2つの断片のどれかの辺を蝶番でつなぐことによって「立体蝶番返し」を考えることができます.菱形十二面体や切頂八面体はよく知られた空間充填立体ですが,実際,菱形十二面体と直方体の間の立体蝶番返し,切頂八面体と直方体の間の立体蝶番返しなど空間充填形同士の蝶番返しが作られています.

 さらに,正方格子やカゴメ格子などのタイル貼り図形において,個々のタイルが板でできていてそれぞれの頂点がハトメでつながっている場合,図形を回転させると隙間のある新しいタイル貼りが生まれ,90°回転させたところで元のタイル貼りに戻ります.このハトメつきのタイル貼りもカンタベリー・パズルの応用の1種と考えることができるでしょう.





http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/556_k1.htm
  


Posted by オボノボノ at 11:15Comments(0)

2011年01月03日

Fパズル

The F Puzzle (Fパズル)

 3種類6ピースを切り離し、” F ”の字と” + ”(ギリシアの十字架)をつくってみてください。私は結局つくれませんでしたが、家内が両方つくってくれました。ピースは裏返してもOKです。



http://www.edita.jp/masanori432/archive/category3-9.html  


Posted by オボノボノ at 05:51Comments(1)